不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を平方完成する。

$x(x-1) = x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

次に、積分を書き換える。

$\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}}} dx$

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cosh{t}$ と置換する。このとき、$dx = \frac{1}{2} \sinh{t} dt$ となる。

この置換により、積分は以下のようになる。

$\int \frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{2} \cosh{t})^2 - \frac{1}{4}}} (\frac{1}{2} \sinh{t}) dt = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}(\cosh^2{t} - 1)}} (\frac{1}{2} \sinh{t}) dt$

$\cosh^2{t} - 1 = \sinh^2{t}$ であるから、

$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\sinh^2{t}}} (\frac{1}{2} \sinh{t}) dt = \int \frac{1}{\frac{1}{2}|\sinh{t}|} (\frac{1}{2} \sinh{t}) dt$

$\sinh{t}$ は正であるとして、

$\int \frac{1}{\frac{1}{2}\sinh{t}} (\frac{1}{2} \sinh{t}) dt = \int 1 dt = t + C$

ここで、$t = \cosh^{-1}(2(x-\frac{1}{2})) = \cosh^{-1}(2x-1)$ であるから、

$t = \cosh^{-1}(2x-1) = \log((2x-1) + \sqrt{(2x-1)^2 - 1}) = \log(2x-1 + \sqrt{4x^2 - 4x}) = \log(2x-1 + 2\sqrt{x^2-x})$

よって、積分は

$\log(2x-1 + 2\sqrt{x(x-1)}) + C$

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cosh t$ という置換ではなく、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec \theta$ という置換を考える。$dx = \frac{1}{2}\sec \theta \tan \theta d\theta$

$\int \frac{1}{\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\sec^2\theta - \frac{1}{4}}} (\frac{1}{2}\sec\theta \tan \theta) d\theta = \int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan \theta} \frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta d\theta = \int \sec \theta d\theta = \log|\sec \theta + \tan \theta| + C$

$\sec \theta = 2x - 1$, $\tan \theta = \sqrt{\sec^2\theta - 1} = \sqrt{(2x-1)^2 - 1} = \sqrt{4x^2 - 4x} = 2\sqrt{x(x-1)}$

よって$\log|2x-1 + 2\sqrt{x(x-1)}| + C$.

3. 最終的な答え

$\log|2x-1 + 2\sqrt{x(x-1)}| + C$