問題文は以下の通りです。 実数 $s$ に対して、 (1) 関数 $f(x) = |x^2 - 2s|$ の $-1 \leq x \leq 1$ における最大値 $M(s)$ を求める。 (2) 関数 $t = M(s)$ のグラフを描き、$M(s)$ の最小値と、それを与える $s$ の値を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

実数 $s$ に対して、

(1) 関数 $f(x) = |x^2 - 2s|$ の $-1 \leq x \leq 1$ における最大値 $M(s)$ を求める。

(2) 関数 $t = M(s)$ のグラフを描き、$M(s)$ の最小値と、それを与える $s$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = |x^2 - 2s|$ の最大値を求める。

まず、$g(x) = x^2 - 2s$ を考える。 $g(x)$ は下に凸な放物線で、軸は $x = 0$ である。

$x$ の定義域が $-1 \leq x \leq 1$ であるから、

$g(x)$ の最大値は $g(-1) = g(1) = 1 - 2s$ であり、最小値は $g(0) = -2s$ である。

$M(s)$ は $f(x) = |g(x)|$ の最大値なので、以下の3つの場合に分けて考える。

(i) $1 - 2s \geq 0$ かつ $-2s \geq 0$、つまり、$s \leq 0$ のとき。

このとき、$g(x)$ は $-2s \leq g(x) \leq 1 - 2s$ を満たすので、

$f(x) = |g(x)|$ の最大値は $|-2s| = -(-2s) = 2s$ と $|1 - 2s| = 1 - 2s$ の大きい方である。

$2s = 1 - 2s$ となるのは $s = \frac{1}{4}$ であるが、$s \leq 0$ なので、$1-2s > 0$ かつ $2s < 0$であるので、$M(s) = 1-2s$。

(ii) $1 - 2s \geq 0$ かつ $-2s \leq 0$、つまり、$0 \leq s \leq \frac{1}{2}$ のとき。

このとき、$g(x)$ は $-2s \leq g(x) \leq 1 - 2s$ を満たす。

$f(x) = |g(x)|$ の最大値は $\max\{|-2s|, |1 - 2s|\} = \max\{2s, 1 - 2s\}$ である。

$2s = 1 - 2s$ となるのは $s = \frac{1}{4}$ である。

$0 \leq s \leq \frac{1}{4}$ のとき、$M(s) = 1 - 2s$。

$\frac{1}{4} \leq s \leq \frac{1}{2}$ のとき、$M(s) = 2s$。

(iii) $1 - 2s \leq 0$、つまり、$s \geq \frac{1}{2}$ のとき。

このとき、$g(x)$ は $1 - 2s \leq g(x) \leq -2s$ で、$g(x) \leq 0$である。

$f(x) = |g(x)|$ の最大値は $|1 - 2s| = -(1 - 2s) = 2s - 1$ である。

以上をまとめると、

$s \leq 0$ のとき、$M(s) = 1 - 2s$

$0 \leq s \leq \frac{1}{4}$ のとき、$M(s) = 1 - 2s$

$\frac{1}{4} \leq s \leq \frac{1}{2}$ のとき、$M(s) = 2s$

$s \geq \frac{1}{2}$ のとき、$M(s) = 2s - 1$

(2) $t = M(s)$ のグラフを描く。

$M(s)$ は

$s \leq \frac{1}{4}$ のとき、$M(s) = 1 - 2s$

$s \geq \frac{1}{4}$ のとき、$M(s) = 2s - 1$

となるので、これは $s = \frac{1}{4}$ で折れ曲がるV字型のグラフとなる。

$M(s)$ の最小値は $s = \frac{1}{4}$ のときで、$M(\frac{1}{4}) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

$s \leq \frac{1}{4}$ のとき、$M(s) = 1 - 2s$

$s \geq \frac{1}{4}$ のとき、$M(s) = 2s - 1$

(2)

$M(s)$ の最小値は $\frac{1}{2}$ で、そのときの $s$ の値は $\frac{1}{4}$ である。