次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan^2 x})$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan^2 x})$

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan^2 x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x - x}{x \tan^2 x}$

ここで、$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ を用いて、$\tan^2 x$ を近似します。

$\tan^2 x = (x + \frac{x^3}{3} + O(x^5))^2 = x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6)$

分子は、

$\tan^2 x - x = x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6) - x$

分母は、

$x \tan^2 x = x(x^2 + \frac{2x^4}{3} + O(x^6)) = x^3 + \frac{2x^5}{3} + O(x^7)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^2 x - x}{x \tan^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x + \frac{2x^4}{3} + O(x^6)}{x^3 + \frac{2x^5}{3} + O(x^7)} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)+\frac{2}{3}x^4 + O(x^6)}{x^3(1+\frac{2}{3}x^2 + O(x^4))}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x-1}{x^2}$

$x \to 0$ に近づくとき、分子は $-1$ に近づき、分母は $0$ に近づきます。

この極限は存在しません。

符号を確認します。$x$ が正から近づくと、$\frac{-1}{0^+} = -\infty$ となり、$x$ が負から近づくと、$\frac{-1}{0^+} = -\infty$ となります。

したがって、極限は$-\infty$です。

別の解法：

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan^2 x}) = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x\cos^2 x}{x\sin^2 x}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \dots$

$\sin^2 x = (x - \frac{x^3}{6})^2 + \dots = x^2 - \frac{x^4}{3} + \dots$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \dots$

$\cos^2 x = (1 - \frac{x^2}{2})^2 + \dots = 1 - x^2 + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac{x^4}{3} - x(1 - x^2)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac{x^4}{3} - x + x^3}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 - x + x^3 - \frac{x^4}{3}}{x^3} = \lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} + 1 - \dots)$

ここで、ローピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x\cos^2 x}{x\sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x \cos x - \cos^2 x + 2x\cos x \sin x}{\sin^2 x + 2x\sin x \cos x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \cos^2 x + x\sin(2x)}{\sin^2 x + x\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \frac{1+\cos(2x)}{2} + x\sin(2x)}{\frac{1-\cos(2x)}{2} + x\sin(2x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(2x) - 1 - \cos(2x) + 2x\sin(2x)}{1 - \cos(2x) + 2x\sin(2x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{4\cos(2x) + 2\sin(2x) + 2\sin(2x) + 4x\cos(2x)}{2\sin(2x) + 2\sin(2x) + 4x\cos(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{4\cos(2x) + 4\sin(2x) + 4x\cos(2x)}{4\sin(2x) + 4x\cos(2x)}$

分子は4に近づき、分母は0に近づきます。

元の式を整理すると、$\frac{\tan^2 x - x}{x \tan^2 x} = \frac{\tan^2 x}{x\tan^2 x} - \frac{x}{x \tan^2 x} = \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan^2 x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$ となる。

$\lim_{x \to 0} \frac{x-1}{x^2} = -\infty$

3. 最終的な答え

$-\infty$