与えられた不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分

$\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を変形します。

$x(x-1) = x^2 - x = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

したがって、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}}} dx$

となります。

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cosh(u)$ と置換します。このとき、$dx = \frac{1}{2} \sinh(u) du$ となります。

$\sqrt{(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4} \cosh^2(u) - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4} (\cosh^2(u) - 1)} = \sqrt{\frac{1}{4} \sinh^2(u)} = \frac{1}{2} \sinh(u)$

元の積分に代入すると、

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \sinh(u)} \frac{1}{2} \sinh(u) du = \int 1 du = u + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cosh(u)$ より、$\cosh(u) = 2x - 1$ です。

したがって、$u = \cosh^{-1}(2x - 1)$ となります。

$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1})$ であるので、$u = \ln(2x - 1 + \sqrt{(2x-1)^2 - 1}) = \ln(2x - 1 + \sqrt{4x^2 - 4x + 1 - 1}) = \ln(2x - 1 + \sqrt{4x^2 - 4x}) = \ln(2x - 1 + 2\sqrt{x^2 - x}) = \ln(2x - 1 + 2\sqrt{x(x-1)})$

$u = \cosh^{-1}(2x-1)$

3. 最終的な答え

$\cosh^{-1}(2x-1) + C$

または、

$\ln(2x-1 + 2\sqrt{x(x-1)}) + C$