以下の3つの不定積分を求めます。 (1) $\int \log 2x \, dx$ (2) $\int \log x^2 \, dx$ (3) $\int x \log x \, dx$

1. 問題の内容

以下の3つの不定積分を求めます。

(1) $\int \log 2x \, dx$

(2) $\int \log x^2 \, dx$

(3) $\int x \log x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \log 2x \, dx$

まず、$\log 2x = \log 2 + \log x$ と変形します。

よって、

$\int \log 2x \, dx = \int (\log 2 + \log x) \, dx = \int \log 2 \, dx + \int \log x \, dx$

$\int \log 2 \, dx = (\log 2) x + C_1$（$C_1$ は積分定数）

$\int \log x \, dx$ は部分積分を使って計算します。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C_2$（$C_2$ は積分定数）

したがって、

$\int \log 2x \, dx = x \log 2 + x \log x - x + C = x(\log 2 + \log x - 1) + C = x(\log 2x - 1) + C$（$C = C_1 + C_2$ は積分定数）

(2) $\int \log x^2 \, dx$

$\log x^2 = 2 \log x$ と変形します。

よって、$\int \log x^2 \, dx = \int 2 \log x \, dx = 2 \int \log x \, dx$

$\int \log x \, dx$ は部分積分を使って計算します。$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$（$C$ は積分定数）

したがって、

$\int \log x^2 \, dx = 2(x \log x - x) + C = 2x \log x - 2x + C$（$C$ は積分定数）

(3) $\int x \log x \, dx$

部分積分を使って計算します。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$（$C$ は積分定数）

3. 最終的な答え

(1) $\int \log 2x \, dx = x(\log 2x - 1) + C$

(2) $\int \log x^2 \, dx = 2x \log x - 2x + C$

(3) $\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$