画像に書かれた2つの積分問題を解きます。 問題7：$\int \frac{2x}{x^2+4}dx$ 問題8：$\int \tan x dx$

1. 問題の内容

画像に書かれた2つの積分問題を解きます。

問題7：$\int \frac{2x}{x^2+4}dx$

問題8：$\int \tan x dx$

2. 解き方の手順

問題7：

まず、$t = x^2 + 4$ と置換します。すると、$dt = 2x dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{2x}{x^2+4}dx = \int \frac{1}{t} dt$

$\int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C$

$t$ を $x^2 + 4$ に戻します。

問題8：

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$ となります。

ここで、$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int \frac{-1}{t} dt = -\int \frac{1}{t} dt$

$-\int \frac{1}{t} dt = -\ln |t| + C$

$t$ を $\cos x$ に戻します。

3. 最終的な答え

問題7：$\ln |x^2 + 4| + C$

問題8：$-\ln |\cos x| + C$