与えられた4つの不定積分を計算する問題です。 1. $\int x \sin x \, dx$

1. 問題の内容

与えられた4つの不定積分を計算する問題です。

1. $\int x \sin x \, dx$

2. $\int x \log x \, dx$

3. $\int (x+1)e^x \, dx$

4. $\int \log x \, dx$

2. 解き方の手順

各不定積分を計算します。

(1) $\int x \sin x \, dx$

部分積分法を用います。$u = x$, $dv = \sin x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

(2) $\int x \log x \, dx$

部分積分法を用います。$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ となります。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \int \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}x^2 + C = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$

(3) $\int (x+1)e^x \, dx$

$\int (x+1)e^x \, dx = \int xe^x \, dx + \int e^x \, dx$

$\int xe^x \, dx$ を部分積分法で求めます。$u = x$, $dv = e^x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x + C_1$

したがって、

$\int (x+1)e^x \, dx = (xe^x - e^x) + e^x + C = xe^x + C$

(4) $\int \log x \, dx$

部分積分法を用います。$u = \log x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ より、

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

3. 最終的な答え

1. $\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$

2. $\int x \log x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \log x - \frac{1}{4}x^2 + C$

3. $\int (x+1)e^x \, dx = xe^x + C$

4. $\int \log x \, dx = x \log x - x + C$