定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\tan^4 x$ は偶関数なので、積分範囲が $-\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{4}$ であることを利用して、次のように変形できます。

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx$

ここで、$\tan^4 x = \tan^2 x \cdot \tan^2 x$ であることと、$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$ を利用して、積分を計算しやすい形に変形します。

まず、$\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$を$\tan^4 x = \tan^2 x \cdot \tan^2 x$に代入すると、

$\tan^4 x = \tan^2 x(\frac{1}{\cos^2 x} - 1)$

$= \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \tan^2 x$

$= \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - (\frac{1}{\cos^2 x} - 1)$

$= \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} + 1$

よって

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} + 1) \, dx$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx$

ここで、$\frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$ より

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 x \cdot (\tan x)' \, dx = \left[ \frac{\tan^3 x}{3} \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{3}$

また、

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = [\tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = 1$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 \, dx = [x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4}$

したがって

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx = \frac{1}{3} - 1 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}$

よって

$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^4 x \, dx = 2 (\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} - \frac{4}{3}$