不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を変形します。

$\sqrt{x(x-1)} = \sqrt{x^2-x} = \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}}$

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cosh(u)$ と置換します。このとき、$dx = \frac{1}{2} \sinh(u) du$ となります。

また、$(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} = (\frac{1}{2} \cosh(u))^2 - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}(\cosh^2(u)-1) = \frac{1}{4} \sinh^2(u)$.

したがって、$\sqrt{(x-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2}|\sinh(u)|$.

積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{2}|\sinh(u)|} \frac{1}{2} \sinh(u) du = \int \frac{\sinh(u)}{|\sinh(u)|} du$.

ここで，$x > 1$ または $x < 0$ の範囲を考える必要があります。

$x > 1$ のとき、$x - \frac{1}{2} > \frac{1}{2}$ なので、$\frac{1}{2} \cosh(u) > \frac{1}{2}$. よって、$\cosh(u) > 1$ なので、$u > 0$ となり、$\sinh(u) > 0$ となります。

$x < 0$ のとき、$x - \frac{1}{2} < -\frac{1}{2}$ なので、$\frac{1}{2} \cosh(u) < -\frac{1}{2}$。これは矛盾します。しかし、$x - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\cosh(u)$ とすれば、$-\frac{1}{2}\cosh(u) < -\frac{1}{2}$なので、$\cosh(u) > 1$より、$u \neq 0$ となります。よって、$\sinh(u)$の符号は不定です。

一旦、$x > 1$ の場合を考えると、$\int \frac{\sinh(u)}{\sinh(u)} du = \int 1 du = u + C$.

$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cosh(u)$ より、$\cosh(u) = 2x - 1$. よって、$u = \cosh^{-1}(2x-1)$.

したがって、$\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx = \cosh^{-1}(2x-1) + C$.

ここで、$\cosh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2-1})$ なので、

$\cosh^{-1}(2x-1) = \ln(2x-1 + \sqrt{(2x-1)^2 - 1}) = \ln(2x-1 + \sqrt{4x^2-4x}) = \ln(2x-1 + 2\sqrt{x^2-x}) = \ln(2x-1 + 2\sqrt{x(x-1)})$.

2つ目の置換として、$x = \sin^2 \theta$と置換してみる。

$x(x-1) = \sin^2 \theta (\sin^2 \theta - 1) = -\sin^2 \theta \cos^2 \theta$

$\sqrt{x(x-1)} = i \sin \theta \cos \theta$となり、うまくいかない。

置換積分で、$\sqrt{x(x-1)} = t - x$と置くと、$x(x-1) = (t-x)^2$となり、$x^2-x = t^2 - 2tx + x^2$なので、$x = \frac{t^2}{2t+1}$.

よって、$dx = \frac{2t(2t+1) - t^2(2)}{(2t+1)^2} dt = \frac{4t^2 + 2t - 2t^2}{(2t+1)^2} dt = \frac{2t^2 + 2t}{(2t+1)^2} dt = \frac{2t(t+1)}{(2t+1)^2} dt$

$\sqrt{x(x-1)} = t - x = t - \frac{t^2}{2t+1} = \frac{2t^2+t-t^2}{2t+1} = \frac{t^2+t}{2t+1} = \frac{t(t+1)}{2t+1}$.

$\int \frac{1}{\sqrt{x(x-1)}} dx = \int \frac{2t+1}{t(t+1)} \frac{2t(t+1)}{(2t+1)^2} dt = \int \frac{2}{2t+1} dt = \ln|2t+1| + C$.

$t = \sqrt{x(x-1)} + x$なので、$\ln|2\sqrt{x(x-1)} + 2x + 1| + C$.

$\ln|2x-1 + 2\sqrt{x(x-1)}| + C$

3. 最終的な答え

$\ln|2x-1 + 2\sqrt{x(x-1)}| + C$

または

$\cosh^{-1}(2x-1) + C$