問題Aは、逆関数の微分とパラメータ表示された関数の微分に関する問題です。 (1) $y = \sqrt{x-1}$ を $y = x^2 + 1$ ($x \ge 0$)の逆関数とみなして $\frac{dy}{dx}$ を求めます。 (2) パラメータ表示 $x = \frac{1}{t}$, $y = 1 - t^2$ から $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

## 問題A

1. 問題の内容

問題Aは、逆関数の微分とパラメータ表示された関数の微分に関する問題です。

(1) $y = \sqrt{x-1}$ を $y = x^2 + 1$ ($x \ge 0$)の逆関数とみなして $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

(2) パラメータ表示 $x = \frac{1}{t}$, $y = 1 - t^2$ から $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

逆関数の微分公式 (6.1) は $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$ です。

$x = y^2 + 1$ を $y$ で微分します。

$\frac{dx}{dy} = 2y$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$ となります。

$y = \sqrt{x-1}$ なので、$x>1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$となります。

(2)

パラメータ表示された関数の微分公式 (6.2) は $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ です。

$x = \frac{1}{t}$ より、$\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{t^2}$

$y = 1 - t^2$ より、$\frac{dy}{dt} = -2t$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{-2t}{-\frac{1}{t^2}} = 2t^3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) \[1] は $2y$

\[2] は $\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

(2) \[3] は $-2t$

\[4] は $2t^3$