逆正接関数 $\tan^{-1}x$ の不定積分を計算します。

## (4) $\int \tan^{-1}x dx$

1. 問題の内容

逆正接関数 $\tan^{-1}x$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。部分積分は、$\int u dv = uv - \int v du$ で表されます。

ここでは、$u = \tan^{-1}x$、$dv = dx$ とします。

すると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$、$v = x$ となります。

部分積分の公式に代入すると、

$\int \tan^{-1}x dx = x \tan^{-1}x - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx$

右辺の積分 $\int \frac{x}{1+x^2} dx$ を計算するために、置換積分を用います。

$t = 1+x^2$ とおくと、$dt = 2x dx$、つまり $x dx = \frac{1}{2} dt$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

これを元の式に代入すると、

$\int \tan^{-1}x dx = x \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

3. 最終的な答え

$\int \tan^{-1}x dx = x \tan^{-1}x - \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$

## (5) $\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx$

1. 問題の内容

$\frac{2x+1}{x^2-1}$ の不定積分を計算します。

2. 解き方の手順

部分分数分解を用いて解きます。まず、被積分関数を部分分数に分解します。

$\frac{2x+1}{x^2-1} = \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$

両辺に $(x-1)(x+1)$ をかけると、

$2x+1 = A(x+1) + B(x-1)$

$x = 1$ のとき、$3 = 2A$ より $A = \frac{3}{2}$

$x = -1$ のとき、$-1 = -2B$ より $B = \frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{2x+1}{x^2-1} = \frac{3/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1}$

積分は、

$\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx = \int \left( \frac{3/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1} \right) dx = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x-1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x+1} dx$

それぞれの積分は、

$\int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C_1$

$\int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1| + C_2$

したがって、

$\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx = \frac{3}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx = \frac{3}{2} \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$

または、

$\int \frac{2x+1}{x^2-1} dx = \ln(\sqrt{|x+1|} \cdot |x-1|^{\frac{3}{2}}) + C$