関数 $y = \frac{1}{(\sin^{-1} 3x)^2}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{(\sin^{-1} 3x)^2}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、 $y = (\sin^{-1} 3x)^{-2}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分を行います。

$y$ を $u$ の関数とみなし、$u = \sin^{-1} 3x$ とおくと、

$y = u^{-2}$となります。

このとき、$\frac{dy}{du} = -2u^{-3} = -\frac{2}{u^3}$

また、$u = \sin^{-1} 3x$ より、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\frac{2}{u^3} \cdot \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}} = -\frac{6}{(\sin^{-1} 3x)^3 \sqrt{1 - 9x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{6}{(\sin^{-1} 3x)^3 \sqrt{1 - 9x^2}}$