与えられた関数 $f(x)$ と区間 $I$ に対して、平均値の定理を満たす数 $c$ と、式(13.3)を満たす $\theta$ を求めよ。 (1) $f(x) = x^2 + x$, $I = [a, b]$ (2) $f(x) = \sqrt{x}$, $I = [a, 4a]$ ($a>0$) (3) $f(x) = \sqrt{x^3}$, $I = [0, a]$ ($a>0$) (4) $f(x) = \log x$, $I = [1, e]$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ と区間 $I$ に対して、平均値の定理を満たす数 $c$ と、式(13.3)を満たす $\theta$ を求めよ。

(1) $f(x) = x^2 + x$, $I = [a, b]$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$, $I = [a, 4a]$ ($a>0$)

(3) $f(x) = \sqrt{x^3}$, $I = [0, a]$ ($a>0$)

(4) $f(x) = \log x$, $I = [1, e]$

2. 解き方の手順

平均値の定理は、$f(b) - f(a) = f'(c)(b-a)$ であり、式(13.3)は $c = a + \theta(b-a)$ となる。

まず、それぞれの関数について、$f'(x)$ を求め、平均値の定理の式を解いて $c$ を求める。その後、$c = a + \theta(b-a)$ から $\theta$ を求める。

(1) $f(x) = x^2 + x$, $I = [a, b]$

$f'(x) = 2x + 1$

$f(b) - f(a) = (b^2 + b) - (a^2 + a) = b^2 - a^2 + b - a = (b-a)(b+a+1)$

$(b-a)(b+a+1) = (2c+1)(b-a)$

$b+a+1 = 2c+1$

$c = \frac{a+b}{2}$

$c = a + \theta(b-a)$ より $\frac{a+b}{2} = a + \theta(b-a)$

$\frac{a+b}{2} - a = \theta(b-a)$

$\frac{b-a}{2} = \theta(b-a)$

$\theta = \frac{1}{2}$

(2) $f(x) = \sqrt{x}$, $I = [a, 4a]$ ($a>0$)

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$f(4a) - f(a) = \sqrt{4a} - \sqrt{a} = 2\sqrt{a} - \sqrt{a} = \sqrt{a}$

$\sqrt{a} = \frac{1}{2\sqrt{c}} (4a - a)$

$\sqrt{a} = \frac{3a}{2\sqrt{c}}$

$\sqrt{c} = \frac{3a}{2\sqrt{a}} = \frac{3\sqrt{a}}{2}$

$c = \frac{9a}{4}$

$c = a + \theta(4a-a)$ より $\frac{9a}{4} = a + 3a\theta$

$\frac{9a}{4} - a = 3a\theta$

$\frac{5a}{4} = 3a\theta$

$\theta = \frac{5}{12}$

(3) $f(x) = \sqrt{x^3}$, $I = [0, a]$ ($a>0$)

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

$f(a) - f(0) = \sqrt{a^3} - 0 = a\sqrt{a}$

$a\sqrt{a} = \frac{3}{2}\sqrt{c}(a-0)$

$a\sqrt{a} = \frac{3}{2}\sqrt{c}a$

$\sqrt{a} = \frac{3}{2}\sqrt{c}$

$\sqrt{c} = \frac{2\sqrt{a}}{3}$

$c = \frac{4a}{9}$

$c = 0 + \theta(a-0)$ より $\frac{4a}{9} = \theta a$

$\theta = \frac{4}{9}$

(4) $f(x) = \log x$, $I = [1, e]$

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$f(e) - f(1) = \log e - \log 1 = 1 - 0 = 1$

$1 = \frac{1}{c}(e-1)$

$c = e-1$

$c = 1 + \theta(e-1)$ より $e-1 = 1 + \theta(e-1)$

$e-2 = \theta(e-1)$

$\theta = \frac{e-2}{e-1}$

3. 最終的な答え

(1) $c = \frac{a+b}{2}$, $\theta = \frac{1}{2}$

(2) $c = \frac{9a}{4}$, $\theta = \frac{5}{12}$

(3) $c = \frac{4a}{9}$, $\theta = \frac{4}{9}$

(4) $c = e-1$, $\theta = \frac{e-2}{e-1}$