(1) $y = x^4 - x^2 + 2$ (2) $y = x^5 - 5x^3 + 1$ (3) $y = xe^{-x}$ (4) $y = x \log x$ (5) $y = \cos x - \sin^2 x$ $(0 < x < \pi)$ (6) $y = x\sqrt{1 + x}$ $(x > -1)$ (7) $y = x^2 - \frac{2}{x}$ (8) $y = x^2e^{-x}$

## 問題 B の解答

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1. 問題の内容

問題Bは、以下の2つの問題から構成されています。

1. 次の関数の増減を調べ、極値を求めよ。

(1) $y = x^4 - x^2 + 2$

(2) $y = x^5 - 5x^3 + 1$

(3) $y = xe^{-x}$

(4) $y = x \log x$

(5) $y = \cos x - \sin^2 x$ $(0 < x < \pi)$

(6) $y = x\sqrt{1 + x}$ $(x > -1)$

(7) $y = x^2 - \frac{2}{x}$

(8) $y = x^2e^{-x}$

2. 次の曲線の凹凸を調べ、変曲点を求めよ。

(1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$

(2) $y = e^{-2x^2}$

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2. 解き方の手順

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1. 関数の増減と極値の求め方**

関数 $y = f(x)$ の増減と極値を求めるには、以下の手順に従います。

1. 導関数 $f'(x)$ を計算します。

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これを臨界点と呼びます。

3. 臨界点の前後で $f'(x)$ の符号を調べ、増減表を作成します。

4. 増減表に基づいて、極大値、極小値を求めます。

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2. 曲線の凹凸と変曲点の求め方**

関数 $y = f(x)$ の凹凸と変曲点を求めるには、以下の手順に従います。

1. 2階導関数 $f''(x)$ を計算します。

2. $f''(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

3. $f''(x)$ が定義されない $x$ の値を求めます。

4. 2 と 3 で求めた値の前後で $f''(x)$ の符号を調べ、凹凸表を作成します。

5. 凹凸表に基づいて、変曲点を求めます。変曲点では、曲線の凹凸が変化します。

**問題 1 の解答例 (1) $y = x^4 - x^2 + 2$**

1. $y' = 4x^3 - 2x$

2. $4x^3 - 2x = 0$ より $2x(2x^2 - 1) = 0$ 。よって $x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

3. 増減表を作成します。

| x | ... | -1/√2 | ... | 0 | ... | 1/√2 | ... |

| :---- | :--- | :---- | :-- | :-- | :-- | :---- | :--- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

4. $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値 $y = (\pm\frac{1}{\sqrt{2}})^4 - (\pm\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{7}{4}$

$x = 0$ で極大値 $y = 0^4 - 0^2 + 2 = 2$

**問題 2 の解答例 (1) $y = x^2 + \frac{1}{2x}$**

1. $y' = 2x - \frac{1}{2x^2}$

$y'' = 2 + \frac{1}{x^3}$

2. $2 + \frac{1}{x^3} = 0$ より $\frac{2x^3 + 1}{x^3} = 0$ 。よって $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

3. $x = 0$ で定義されない

4. 凹凸表を作成します。

| x | ... | -1/∛2 | ... | 0 | ... |

| :---- | :--- | :---- | :-- | :-- | :--- |

| y'' | - | 0 | + | 定義 | + |

| y | 凸 | 変曲点 | 凹 | 定義 | 凹 |

5. $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ で変曲点 $y = (-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})^2 + \frac{1}{2(-\frac{1}{\sqrt[3]{2}})} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} - \frac{\sqrt[3]{2}}{2} = \frac{1}{2^{2/3}} - \frac{2^{1/3}}{2} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 2^{2/3}} \frac{-2}{2\cdot 2^{2/3}}= - \frac{1}{2^{2/3}}$

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3. 最終的な答え

**問題 1 (1)**

- 極小値: $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $y = \frac{7}{4}$

- 極大値: $x = 0$ のとき $y = 2$

**問題 2 (1)**

- 変曲点: $x = -\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ のとき $y = - \frac{1}{2^{2/3}}$

**注意：** 上記は解答例ですので、他の問題も同様の手順で解いてください。 計算ミス等があるかもしれないので、ご自身でも検算することを推奨します。