対数微分法を用いて関数 $y = x^x$ ($x > 0$)を微分する。

1. 問題の内容

対数微分法を用いて関数 $y = x^x$ ($x > 0$)を微分する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln(x^x)$

対数の性質 $\ln(a^b) = b \ln a$ を用いると、

$\ln y = x \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分を用いて、$y$ で微分した後に $\frac{dy}{dx}$ をかけます。右辺は積の微分 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x) = (x)' \ln x + x (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1)$

ここで、$y = x^x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$