定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1-x^3}{\sqrt{4x-x^4+1}} dx$ を求めます。

## (1)の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1-x^3}{\sqrt{4x-x^4+1}} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$t = 4x - x^4 + 1$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = 4 - 4x^3 = 4(1-x^3)$ となります。したがって、$dx = \frac{dt}{4(1-x^3)}$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。$x=0$ のとき $t = 1$、$x=1$ のとき $t = 4$ です。

これらを積分に代入すると、

$\int_{0}^{1} \frac{1-x^3}{\sqrt{4x-x^4+1}} dx = \int_{1}^{4} \frac{1-x^3}{\sqrt{t}} \frac{dt}{4(1-x^3)} = \int_{1}^{4} \frac{1}{4\sqrt{t}} dt = \frac{1}{4} \int_{1}^{4} t^{-\frac{1}{2}} dt$

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} t^{-\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{4} [2t^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4} = \frac{1}{2} [\sqrt{t}]_{1}^{4} = \frac{1}{2} (\sqrt{4} - \sqrt{1}) = \frac{1}{2} (2-1) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$

## (2)の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

分母分子に $e^x$ をかけます。

$\int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$

ここで、$t = e^x$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = e^x$ より、$dx = \frac{dt}{e^x} = \frac{dt}{t}$

積分範囲は、$x=0$ のとき $t=1$、$x=1$ のとき $t=e$

$\int_{1}^{e} \frac{t}{t^2 + 1} \frac{dt}{t} = \int_{1}^{e} \frac{1}{t^2 + 1} dt = [\arctan t]_{1}^{e} = \arctan e - \arctan 1 = \arctan e - \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\arctan e - \frac{\pi}{4}$

## (3)の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$t = \cos x$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ より、$dx = -\frac{dt}{\sin x}$

積分範囲は、$x=0$ のとき $t=1$、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $t=0$

$\int_{1}^{0} \frac{\sin x}{1 + t^2} (-\frac{dt}{\sin x}) = -\int_{1}^{0} \frac{1}{1+t^2} dt = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} dt = [\arctan t]_{0}^{1} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$

## (4)の問題

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

$\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 x) \sin x dx$

$t = \cos x$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = -\sin x$ より、$dx = -\frac{dt}{\sin x}$

積分範囲は、$x=0$ のとき $t=1$、$x=\frac{\pi}{2}$ のとき $t=0$

$\int_{1}^{0} (1 - t^2) \sin x (-\frac{dt}{\sin x}) = -\int_{1}^{0} (1-t^2) dt = \int_{0}^{1} (1-t^2) dt = [t - \frac{t^3}{3}]_{0}^{1} = (1 - \frac{1}{3}) - (0 - 0) = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$