与えられた関数 $f(x)$ が $x=1$ で連続かどうかを調べる問題です。関数は2つ与えられています。 (1) $ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x-1} & (x \neq 1) \\ 2 & (x = 1) \end{cases} $ (2) $ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x-1} & (x \neq 1) \\ 0 & (x = 1) \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=1$ で連続かどうかを調べる問題です。関数は2つ与えられています。

(1)

$$

f(x) = \begin{cases}

\frac{x^2 - 1}{x-1} & (x \neq 1) \\

2 & (x = 1)

\end{cases}

$$

(2)

$$

f(x) = \begin{cases}

\frac{x^2 - 1}{x-1} & (x \neq 1) \\

0 & (x = 1)

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは、以下の3つの条件がすべて満たされることを言います。

1. $f(a)$ が定義されている。

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する。

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つ。

上記の定義に従って、与えられた関数について $x=1$ における連続性を確認します。

(1)

1. $f(1)$ は定義されており、$f(1) = 2$ です。

2. $\lim_{x \to 1} f(x)$ を計算します。$x \neq 1$ のとき、$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ です。したがって、

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1+1 = 2$

3. $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 = f(1)$ が成り立ちます。

(2)

1. $f(1)$ は定義されており、$f(1) = 0$ です。

2. $\lim_{x \to 1} f(x)$ を計算します。$x \neq 1$ のとき、$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ です。したがって、

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1+1 = 2$

3. $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq 0 = f(1)$ が成り立ちません。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は $x=1$ で連続である。

(2) $f(x)$ は $x=1$ で連続ではない。