問題は、次の2つの関数が $x=0$ で連続かどうかを調べることです。 (1) $y=|x|$ (2) $y=x\sin{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの関数が $x=0$ で連続かどうかを調べることです。

(1) $y=|x|$

(2) $y=x\sin{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = |x|$ の場合：

$x=0$ における連続性を調べるには、以下の3つの条件を確認します。

1. $f(0)$ が定義されていること。

2. $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在すること。

3. $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ であること。

* $f(0) = |0| = 0$ なので、定義されています。

* $\lim_{x \to 0^{+}} |x| = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0$

* $\lim_{x \to 0^{-}} |x| = \lim_{x \to 0^{-}} -x = 0$

左右からの極限が一致するので、$\lim_{x \to 0} |x| = 0$ です。

$\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)$ なので、$y=|x|$ は $x=0$ で連続です。

(2) $y = x\sin{\frac{1}{x}}$ の場合：

同様に$x=0$ における連続性を調べます。

* $x=0$ で関数は定義されていませんが、$f(0)=0$と定義することで連続性を議論できます。

* $\lim_{x \to 0} x\sin{\frac{1}{x}}$ を考えます。

* $-1 \leq \sin{\frac{1}{x}} \leq 1$ であるため、$x>0$のとき $-x \leq x\sin{\frac{1}{x}} \leq x$、$x<0$のとき $x \leq x\sin{\frac{1}{x}} \leq -x$ が成り立ちます。

* $\lim_{x \to 0} -x = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} x = 0$ なので、はさみうちの原理より、

$\lim_{x \to 0} x\sin{\frac{1}{x}} = 0$ です。

* $f(0) = 0$ と定義すると、$\lim_{x \to 0} x\sin{\frac{1}{x}} = 0 = f(0)$ なので、$y=x\sin{\frac{1}{x}}$ は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

(1) $y=|x|$ は $x=0$ で連続。

(2) $y=x\sin{\frac{1}{x}}$ は $x=0$ で連続。