$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x = \theta + \frac{\pi}{6}$ とおきます。このとき、$\sin(x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲を考えます。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le x < 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$ です。

$\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の値は $x = \frac{\pi}{3}$ と $x = \frac{2\pi}{3}$ です。

$\sin(x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ の範囲は、$\frac{2\pi}{3} \le x \le \frac{7\pi}{3}$, もしくは $\frac{2\pi}{3} \le x \le 2\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{3}$です．同様に $\frac{8\pi}{3} \le x \le \frac{13\pi}{6}$も$\sin(x) \le \frac{\sqrt{3}}{2}$を満たします。しかし$\frac{13\pi}{6}$は範囲の境界なので、実際には$\frac{8\pi}{3} \le x < \frac{13\pi}{6}$ です。

$x = \theta + \frac{\pi}{6}$ を元に戻して、

$\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{3}$

$\frac{8\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$

を解きます。

$\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{7\pi}{3} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{8\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{4\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{14\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{16\pi}{6} - \frac{\pi}{6} \le \theta < \frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{6} \le \theta \le \frac{13\pi}{6}$

$\frac{15\pi}{6} \le \theta < \frac{12\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{13\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

しかし、$\theta < 2\pi$なので

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le 2\pi$且つ $\theta \le \frac{13\pi}{6}$. よって $\frac{\pi}{2} \le \theta < 2\pi$.

$\frac{5\pi}{2} \le \theta < 2\pi$はない。

$\frac{2\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{3}$

$\frac{3\pi}{6} \le \theta \le \frac{13\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{13\pi}{6}$.

$\frac{7\pi}{6} \le \theta < \frac{12\pi}{6}=2\pi$ は$\frac{7\pi}{3}$から$\frac{13\pi}{6}$の間にもう一つあるから、$\frac{7\pi}{6}\leq x\leq\frac{11\pi}{6}$

$\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{6}$

$\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{6}$

$\frac{2\pi}{3}\leq \theta+\frac{\pi}{6}\leq \frac{7\pi}{3}$

$\frac{7\pi}{3}=\frac{14\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq \frac{13\pi}{6}$

$\frac{8\pi}{3} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{13\pi}{6}$のときを考える

$\frac{8\pi}{3} = \frac{16\pi}{6}$

$\frac{15\pi}{6} \le \theta < \frac{12\pi}{6}=2\pi$

$\frac{5\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

$\frac{\pi}{2}\leq \theta\leq \frac{13\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{2} \le \theta < 2\pi$

$\frac{\pi}{2}\leq\theta \leq \frac{13\pi}{6}=2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2}\leq\theta < 2\pi$

$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \rightarrow x=\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

$\frac{2\pi}{3}\leq x \leq\frac{7\pi}{3}$

$\frac{8\pi}{3}\leq x \leq\frac{14\pi}{6}$

$\frac{2\pi}{3} \le \theta+\frac{\pi}{6}\leq \frac{11\pi}{6}$

$\frac{2\pi}{3} \le \theta+\frac{\pi}{6}\leq \frac{14\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{11\pi}{6}$