$\int_{0}^{1} \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \log x$ と $dv = dx$ とおきます。すると、$du = \frac{1}{x} \, dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$$

となります。

定積分を計算するために、まず、$x \log x - x$ を $0$ から $1$ まで評価します。

$$\int_{0}^{1} \log x \, dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \log x \, dx = \lim_{a \to +0} [x \log x - x]_{a}^{1}$$

$$= (1 \cdot \log 1 - 1) - \lim_{a \to +0} (a \log a - a) = (0 - 1) - \lim_{a \to +0} (a \log a - a) = -1 - \lim_{a \to +0} (a \log a - a)$$

ここで、$a \to +0$ のとき、$a \log a$ の極限を計算する必要があります。$\lim_{a \to +0} a \log a$ は不定形 $0 \cdot (-\infty)$ なので、ロピタルの定理を用いるために、次のように書き換えます。

$$\lim_{a \to +0} a \log a = \lim_{a \to +0} \frac{\log a}{1/a}$$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$$\lim_{a \to +0} \frac{\log a}{1/a} = \lim_{a \to +0} \frac{1/a}{-1/a^2} = \lim_{a \to +0} (-a) = 0$$

したがって、

$$\lim_{a \to +0} (a \log a - a) = 0 - 0 = 0$$

よって、

$$\int_{0}^{1} \log x \, dx = -1 - 0 = -1$$

3. 最終的な答え

-1