与えられた6つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int (3x+1)^4 dx$ (2) $\int (4x-3)^{-3} dx$ (3) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-2x}}$ (4) $\int \frac{dx}{2x+1}$ (5) $\int \sin 2x dx$ (6) $\int e^{3x-1} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int (3x+1)^4 dx$

(2) $\int (4x-3)^{-3} dx$

(3) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-2x}}$

(4) $\int \frac{dx}{2x+1}$

(5) $\int \sin 2x dx$

(6) $\int e^{3x-1} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (3x+1)^4 dx$

置換積分を行います。$u = 3x+1$ と置くと、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}du$ となります。

よって、

$\int (3x+1)^4 dx = \int u^4 \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^4 du = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5} u^5 + C = \frac{1}{15} (3x+1)^5 + C$

(2) $\int (4x-3)^{-3} dx$

置換積分を行います。$u = 4x-3$ と置くと、$du = 4dx$ より $dx = \frac{1}{4}du$ となります。

よって、

$\int (4x-3)^{-3} dx = \int u^{-3} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2} u^{-2} + C = -\frac{1}{8} (4x-3)^{-2} + C = -\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(3) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-2x}}$

置換積分を行います。$u = 1-2x$ と置くと、$du = -2dx$ より $dx = -\frac{1}{2}du$ となります。

よって、

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-2x}} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} u^{\frac{1}{2}} + C = -u^{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{1-2x} + C$

(4) $\int \frac{dx}{2x+1}$

置換積分を行います。$u = 2x+1$ と置くと、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

よって、

$\int \frac{dx}{2x+1} = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(5) $\int \sin 2x dx$

置換積分を行います。$u = 2x$ と置くと、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

よって、

$\int \sin 2x dx = \int \sin u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin u du = \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$

(6) $\int e^{3x-1} dx$

置換積分を行います。$u = 3x-1$ と置くと、$du = 3dx$ より $dx = \frac{1}{3}du$ となります。

よって、

$\int e^{3x-1} dx = \int e^{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C = \frac{1}{3} e^{3x-1} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{15} (3x+1)^5 + C$

(2) $-\frac{1}{8(4x-3)^2} + C$

(3) $-\sqrt{1-2x} + C$

(4) $\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(5) $-\frac{1}{2} \cos 2x + C$

(6) $\frac{1}{3} e^{3x-1} + C$