与えられた関数$f(x)$が$x=1$において連続かどうかを調べます。連続性を調べるためには、以下の3つの条件を確認する必要があります。 * $f(1)$ が定義されていること * $\lim_{x \to 1} f(x)$ が存在すること * $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ が成り立つこと

1. 問題の内容

与えられた関数$f(x)$が$x=1$において連続かどうかを調べます。連続性を調べるためには、以下の3つの条件を確認する必要があります。

* $f(1)$ が定義されていること

* $\lim_{x \to 1} f(x)$ が存在すること

* $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ が成り立つこと

2. 解き方の手順

**(1) の場合**

まず、$f(1)$が定義されているか確認します。問題文より、$f(1) = 2$ と定義されているので、$f(1)$は定義されています。

次に、$\lim_{x \to 1} f(x)$ を求めます。$x \neq 1$ のとき、$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ です。

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$

したがって、$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ です。

最後に、$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ が成り立つか確認します。$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ であり、$f(1) = 2$ であるため、$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ が成り立ちます。

**(2) の場合**

まず、$f(1)$が定義されているか確認します。問題文より、$f(1) = 0$ と定義されているので、$f(1)$は定義されています。

次に、$\lim_{x \to 1} f(x)$ を求めます。$x \neq 1$ のとき、$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ です。

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$

したがって、$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ です。

最後に、$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ が成り立つか確認します。$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ であり、$f(1) = 0$ であるため、$\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) の場合、$f(x)$は$x=1$で連続です。

(2) の場合、$f(x)$は$x=1$で連続ではありません。