与えられた定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$t = \arcsin x$ とおくと、$x = \sin t$ となり、$dx = \cos t dt$ となります。また、$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{\cos^2 t} = \cos t$ となります。

$x$ の積分範囲が $-1$ から $1$ なので、$t$ の積分範囲は $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$ から $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ となります。

よって、与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin t \cdot t}{\cos t} \cos t dt = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} t \sin t dt$

ここで、被積分関数 $f(t) = t \sin t$ は偶関数です。なぜなら、$f(-t) = (-t)\sin(-t) = (-t)(-\sin t) = t \sin t = f(t)$ となるからです。

偶関数の積分範囲が対称である場合、積分は次のようになります。

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$

したがって、

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} t \sin t dt = 2 \int_{0}^{\pi/2} t \sin t dt$

次に、部分積分を使って $\int_{0}^{\pi/2} t \sin t dt$ を計算します。

$u=t$, $dv = \sin t dt$ とおくと、$du = dt$, $v = -\cos t$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用すると、

$\int_{0}^{\pi/2} t \sin t dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi/2} - \int_{0}^{\pi/2} (-\cos t) dt = [-t \cos t]_{0}^{\pi/2} + \int_{0}^{\pi/2} \cos t dt$

$= [-\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} - (-0 \cos 0)] + [\sin t]_{0}^{\pi/2} = 0 + [\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0] = 1 - 0 = 1$

よって、元の積分は

$2 \int_{0}^{\pi/2} t \sin t dt = 2 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

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