関数 $f(x) = -|x|$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる問題です。$x=0$ における接線の存在の有無と、それに基づいて微分可能性を判断します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -|x|$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる問題です。$x=0$ における接線の存在の有無と、それに基づいて微分可能性を判断します。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = -|x|$ を考えます。絶対値記号を外して場合分けすると、

$f(x) = \begin{cases}

-x, & x < 0 \\

0, & x = 0 \\

x, & x > 0

\end{cases}$

となります。

$x=0$ における接線の存在を調べるには、左側極限と右側極限の微分係数を計算します。

左側極限の微分係数は、

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-|h| - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-(-h)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{h}{h} = 1$

右側極限の微分係数は、

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{-|h| - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to +0} -1 = -1$

左側極限の微分係数と右側極限の微分係数が異なる（1と-1）ため、$x=0$ において微分係数は存在しません。つまり、$x=0$ に対応する点 $(0, 0)$ において、接線を一意に引くことはできません。

したがって、関数 $f(x) = -|x|$ は $x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

この関数のグラフの $x=0$ に対応する点 $(0, 0)$ では、接線を **引けない**。よって、この関数は $x = 0$ で微分可能で **ない**。