$\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{n\to\infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

この極限は、自然対数の底 $e$ の定義に関連しています。

$y = (1 - \frac{1}{n})^n$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = n \ln (1 - \frac{1}{n})$

ここで、$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となります。

$\ln y = \frac{1}{x} \ln (1 - x)$

$\lim_{n\to\infty} \ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 - x)}{x}$

ここで、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1 - x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{-1}{1 - x}}{1} = \lim_{x\to 0} \frac{-1}{1 - x} = -1$

したがって、$\lim_{n\to\infty} \ln y = -1$ です。

$\ln (\lim_{n\to\infty} y) = -1$ より、

$\lim_{n\to\infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$