平面 $2x + y + 2z = 6$ が平面 $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=2$ で切り取られた領域を $S$ とする。関数 $f = 4x + 3y - 2z$ について、面積分 $\int_S f dS$ を求める。

## 問題2

1. 問題の内容

平面 $2x + y + 2z = 6$ が平面 $x=0$, $x=1$, $y=0$, $y=2$ で切り取られた領域を $S$ とする。関数 $f = 4x + 3y - 2z$ について、面積分 $\int_S f dS$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、平面 $2x + y + 2z = 6$ から $z$ を $x, y$ で表す。

$2z = 6 - 2x - y$

$z = 3 - x - \frac{1}{2}y$

次に、$dS$ を求める。$z = g(x, y) = 3 - x - \frac{1}{2}y$ とすると、

$dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dA$

$\frac{\partial z}{\partial x} = -1$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{1}{2}$

$dS = \sqrt{1 + (-1)^2 + (-\frac{1}{2})^2} dA = \sqrt{1 + 1 + \frac{1}{4}} dA = \sqrt{\frac{9}{4}} dA = \frac{3}{2} dA = \frac{3}{2} dx dy$

次に、$f$ を $x, y$ で表す。

$f = 4x + 3y - 2z = 4x + 3y - 2(3 - x - \frac{1}{2}y) = 4x + 3y - 6 + 2x + y = 6x + 4y - 6$

積分範囲は $0 \le x \le 1$、 $0 \le y \le 2$ である。したがって、

$\int_S f dS = \int_0^1 \int_0^2 (6x + 4y - 6) \frac{3}{2} dy dx$

$= \frac{3}{2} \int_0^1 \int_0^2 (6x + 4y - 6) dy dx$

$= \frac{3}{2} \int_0^1 [6xy + 2y^2 - 6y]_0^2 dx$

$= \frac{3}{2} \int_0^1 (12x + 8 - 12) dx$

$= \frac{3}{2} \int_0^1 (12x - 4) dx$

$= \frac{3}{2} [6x^2 - 4x]_0^1$

$= \frac{3}{2} (6 - 4) = \frac{3}{2} (2) = 3$

3. 最終的な答え

$\int_S f dS = 3$