次の定積分を計算します。 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = x^{-\frac{2}{3}}$

次に、不定積分を求めます。

$\int x^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{2}{3} + 1}}{-\frac{2}{3} + 1} + C = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3x^{\frac{1}{3}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C$

次に、定積分を計算します。この積分は $x=0$ で被積分関数が定義されないため、特異積分として扱う必要があります。したがって、次のように計算します。

$\int_{-1}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-1}^{-\epsilon} x^{-\frac{2}{3}} dx + \lim_{\epsilon' \to 0} \int_{\epsilon'}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx$

$\int_{-1}^{-\epsilon} x^{-\frac{2}{3}} dx = [3\sqrt[3]{x}]_{-1}^{-\epsilon} = 3\sqrt[3]{-\epsilon} - 3\sqrt[3]{-1} = -3\sqrt[3]{\epsilon} + 3$

$\int_{\epsilon'}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = [3\sqrt[3]{x}]_{\epsilon'}^{1} = 3\sqrt[3]{1} - 3\sqrt[3]{\epsilon'} = 3 - 3\sqrt[3]{\epsilon'}$

したがって、

$\int_{-1}^{1} x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{\epsilon \to 0} (-3\sqrt[3]{\epsilon} + 3) + \lim_{\epsilon' \to 0} (3 - 3\sqrt[3]{\epsilon'}) = 3 + 3 = 6$

3. 最終的な答え

6