平面 $6x + 3y + 2z = 6$ から平面 $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ で切り取られてできる三角形を $S$ とする。関数 $f=y+z$ について、面積分 $\iint_S f dS$ を求めよ。

1. 問題の内容

平面 $6x + 3y + 2z = 6$ から平面 $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ で切り取られてできる三角形を $S$ とする。関数 $f=y+z$ について、面積分 $\iint_S f dS$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、平面 $6x + 3y + 2z = 6$ を $z$ について解くと、

$z = 3 - 3x - \frac{3}{2}y$

$f = y + z$ に代入すると、

$f = y + 3 - 3x - \frac{3}{2}y = 3 - 3x - \frac{1}{2}y$

次に、$dS$ を求める。

$z = g(x, y) = 3 - 3x - \frac{3}{2}y$ とおくと、

$\frac{\partial g}{\partial x} = -3$

$\frac{\partial g}{\partial y} = -\frac{3}{2}$

$dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial g}{\partial x})^2 + (\frac{\partial g}{\partial y})^2} dxdy$

$dS = \sqrt{1 + (-3)^2 + (-\frac{3}{2})^2} dxdy = \sqrt{1 + 9 + \frac{9}{4}} dxdy = \sqrt{\frac{4 + 36 + 9}{4}} dxdy = \sqrt{\frac{49}{4}} dxdy = \frac{7}{2} dxdy$

面積分は、

$\iint_S f dS = \iint_D (3 - 3x - \frac{1}{2}y) \frac{7}{2} dxdy$

ここで、$D$ は $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ で囲まれた領域である。

$\iint_S f dS = \frac{7}{2} \int_0^1 \int_0^{1-x} (3 - 3x - \frac{1}{2}y) dy dx$

$\int_0^{1-x} (3 - 3x - \frac{1}{2}y) dy = [3y - 3xy - \frac{1}{4}y^2]_0^{1-x} = 3(1-x) - 3x(1-x) - \frac{1}{4}(1-x)^2 = 3 - 3x - 3x + 3x^2 - \frac{1}{4}(1 - 2x + x^2) = 3 - 6x + 3x^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}x^2 = \frac{11}{4} - \frac{11}{2}x + \frac{11}{4}x^2$

$\int_0^1 (\frac{11}{4} - \frac{11}{2}x + \frac{11}{4}x^2) dx = [\frac{11}{4}x - \frac{11}{4}x^2 + \frac{11}{12}x^3]_0^1 = \frac{11}{4} - \frac{11}{4} + \frac{11}{12} = \frac{11}{12}$

$\iint_S f dS = \frac{7}{2} \times \frac{11}{12} = \frac{77}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{77}{24}$