与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、$\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を使用することができます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である場合、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

この問題では、$f(x) = e^{2x} - e^{-x}$、 $g(x) = x$ とすると、

$f'(x) = 2e^{2x} + e^{-x}$、 $g'(x) = 1$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^{-x}}{1}$

$x \to 0$ のとき、$2e^{2x} + e^{-x} \to 2e^{0} + e^{0} = 2(1) + 1 = 3$ となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^{-x}}{1} = 3$

3. 最終的な答え

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