与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限は、$\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を使うことができます。

ロピタルの定理は、関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $x \to a$ で $0$ または $\pm \infty$ に収束し、かつ $f'(x)$ と $g'(x)$ が存在し、$g'(x) \neq 0$ のとき、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

が成り立つという定理です。

まず、与えられた関数を $f(x) = e^x - 1$ および $g(x) = \log(1 + 2x)$ とします。

それぞれの導関数を求めます。

$f'(x) = e^x$

$g'(x) = \frac{2}{1 + 2x}$

したがって、極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\frac{2}{1 + 2x}} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + 2x)}{2}$

$x \to 0$ のとき、指数関数 $e^x$ は $1$ に近づき、$1 + 2x$ も $1$ に近づくので、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x(1 + 2x)}{2} = \frac{1 \cdot (1 + 2 \cdot 0)}{2} = \frac{1}{2}$

また、$x \to 0$ のとき、$e^x - 1 \approx x$ および $\log(1+2x) \approx 2x$ という近似が使えます。この近似を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\log(1 + 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$