画像に写っている微分に関する問題を解きます。具体的には、(3)から(10)までの関数の微分を計算します。

1. 問題の内容

画像に写っている微分に関する問題を解きます。具体的には、(3)から(10)までの関数の微分を計算します。

2. 解き方の手順

(3) $(e^x)'$

これは指数関数の微分です。

$(e^x)' = e^x$

(4) $(e^{ax})'$

これは合成関数の微分です。 $u = ax$ とおくと、$\frac{d}{dx}(e^{ax}) = \frac{d}{du}(e^u) \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot a = ae^{ax}$

したがって、

$(e^{ax})' = ae^{ax}$

(5) $(\sqrt{x})'$

これはべき関数の微分です。 $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ なので、

$(\sqrt{x})' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(6) $(\sqrt{ax})'$

これも合成関数の微分です。 $u = ax$ とおくと、$\frac{d}{dx}(\sqrt{ax}) = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot a = \frac{a}{2\sqrt{ax}} = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$(\sqrt{ax})' = \frac{a}{2\sqrt{ax}} = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}}$

(7) $(\log x)'$

これは対数関数の微分です。

$(\log x)' = \frac{1}{x}$

(8) $(\log ax)'$

対数の性質 $\log(ax) = \log a + \log x$ を使うと、

$(\log ax)' = (\log a + \log x)' = (\log a)' + (\log x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

したがって、

$(\log ax)' = \frac{1}{x}$

(9) $(\sin x)'$

これは三角関数の微分です。

$(\sin x)' = \cos x$

(10) $(\cos x)'$

これも三角関数の微分です。

$(\cos x)' = -\sin x$

3. 最終的な答え

(3) $(e^x)' = e^x$

(4) $(e^{ax})' = ae^{ax}$

(5) $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(6) $(\sqrt{ax})' = \frac{a}{2\sqrt{ax}} = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}}$

(7) $(\log x)' = \frac{1}{x}$

(8) $(\log ax)' = \frac{1}{x}$

(9) $(\sin x)' = \cos x$

(10) $(\cos x)' = -\sin x$