関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表します（ガウス記号）。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = [x^3]$ が $x=0$ で連続かどうかを調べる問題です。ここで、$[x]$ は $x$ 以下の最大の整数を表します（ガウス記号）。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

* $f(0)$ が定義されていること。

* $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在すること。

* $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つこと。

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = [0^3] = [0] = 0$.

次に、$\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在するかどうかを調べます。

$\lim_{x \to 0} f(x)$ を調べるために、左極限と右極限を計算します。

左極限: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} [x^3]$

$x$ が $0$ より小さい値から $0$ に近づくとき、$x^3$ は $0$ より小さい値から $0$ に近づきます。したがって、$x^3 < 0$ となり、$x^3$ が $0$ に近づくにつれて、$[x^3]$ は $-1$ に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 0^-} [x^3] = -1$.

右極限: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} [x^3]$

$x$ が $0$ より大きい値から $0$ に近づくとき、$x^3$ は $0$ より大きい値から $0$ に近づきます。したがって、$x^3 > 0$ となり、$x^3$ が $0$ に近づくにつれて、$[x^3]$ は $0$ に近づきます。

したがって、$\lim_{x \to 0^+} [x^3] = 0$.

左極限と右極限が異なるため、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しません。

$\lim_{x \to 0^-} f(x) \ne \lim_{x \to 0^+} f(x)$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続ではありません。

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = [x^3]$ は $x=0$ で連続ではありません。