関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} \sin x + a & (x \geq 0) \\ x^3 & (x < 0) \end{cases}$ $f(x)$ が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} \sin x + a & (x \geq 0) \\ x^3 & (x < 0) \end{cases}$

$f(x)$ が実数全体で定義された連続関数となるように、$a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が連続関数となるためには、特に $x = 0$ で連続である必要があります。$x = 0$ での連続性を調べるには、左からの極限と右からの極限が一致し、その値が $f(0)$ と一致する必要があります。

まず、$x \to 0^{-}$ のとき、$f(x) = x^3$ なので、

$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} x^3 = 0$

次に、$x \to 0^{+}$ のとき、$f(x) = \sin x + a$ なので、

$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} (\sin x + a) = \sin 0 + a = 0 + a = a$

$f(0) = \sin 0 + a = a$

したがって、関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、

$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0)$

である必要があります。つまり、

$0 = a = a$

よって、$a = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 0$