Q26からQ30までの5つの問題を解きます。 Q26: 初項4、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の無限和を求める。 Q27: 等比数列で $a_3 = 27$、公比 $r = 3$ のとき、初項 $a_1$ を求める。 Q28: 数列 $\{b_n\}$ が $b_{n+1} = 2b_n + 1$ ($n \geq 1$), $b_1 = 1$ を満たすとき $b_3$ を求める。 Q29: 数列 $c_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3}$ の極限 $\lim_{n \to \infty} c_n$ を求める。 Q30: $f(x) = x^3$ とするとき、$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ の値を求める。

1. 問題の内容

Q26からQ30までの5つの問題を解きます。

Q26: 初項4、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の無限和を求める。

Q27: 等比数列で $a_3 = 27$、公比 $r = 3$ のとき、初項 $a_1$ を求める。

Q28: 数列 $\{b_n\}$ が $b_{n+1} = 2b_n + 1$ ($n \geq 1$), $b_1 = 1$ を満たすとき $b_3$ を求める。

Q29: 数列 $c_n = \frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3}$ の極限 $\lim_{n \to \infty} c_n$ を求める。

Q30: $f(x) = x^3$ とするとき、$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

Q26:

等比数列の無限和の公式は $S = \frac{a}{1-r}$ です。

ここで、$a = 4$、$r = \frac{1}{2}$ なので、

$S = \frac{4}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$

Q27:

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ です。

$a_3 = a_1 r^2$ なので、$27 = a_1 \cdot 3^2 = 9a_1$。

したがって、$a_1 = \frac{27}{9} = 3$

Q28:

$b_{n+1} = 2b_n + 1$ で $b_1 = 1$ です。

$b_2 = 2b_1 + 1 = 2(1) + 1 = 3$

$b_3 = 2b_2 + 1 = 2(3) + 1 = 7$

Q29:

$\lim_{n \to \infty} c_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n^2}} = \frac{1 + 0}{2 + 0} = \frac{1}{2}$

Q30:

$\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$ は $f(x)$ の $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ です。

$f(x) = x^3$ なので、$f'(x) = 3x^2$。

$f'(2) = 3(2^2) = 3(4) = 12$

3. 最終的な答え

Q26:

4. 8

Q27:

5. 3

Q28:

3. 7

Q29:

1. $\frac{1}{2}$

Q30:

2. 12