関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1 + x^{2n}}$ ($x > 0$) の連続性を調べよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1 + x^{2n}}$ ($x > 0$) の連続性を調べよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を求めます。

$x$の値によって場合分けを行います。

(1) $0 < x < 1$のとき：

$n \to \infty$のとき、$x^{2n} \to 0$なので、

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1 + x^{2n}} = \frac{0}{1 + 0} = 0$$

(2) $x = 1$のとき：

$$f(1) = \lim_{n \to \infty} \frac{1^{2n+1}}{1 + 1^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$

(3) $x > 1$のとき：

$$f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n+1}}{1 + x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n} \cdot x}{x^{2n}(x^{-2n} + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{x^{-2n} + 1} = \frac{x}{0 + 1} = x$$

したがって、

$$$$

f(x) = \begin{cases}

0 & (0 < x < 1) \\

\frac{1}{2} & (x = 1) \\

x & (x > 1)

\end{cases}

$$$$

$f(x)$の連続性を調べます。

$x \neq 1$では、$f(x)$は連続です。

$x = 1$で連続かどうかを調べます。

左からの極限：

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} 0 = 0$

右からの極限：

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x = 1$

$f(1) = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq f(1)$かつ$\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq f(1)$なので、$x = 1$で不連続です。

3. 最終的な答え

$f(x)$は$x > 0$で、$x = 1$で不連続。それ以外の点で連続。