関数 $f(x) = \tan^{-1}x$ の3次の項までのマクローリン展開を求めよ。ただし、剰余項$R_4$は求めなくてよい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \tan^{-1}x$ の3次の項までのマクローリン展開を求めよ。ただし、剰余項$R_4$は求めなくてよい。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数$f(x)$を$x=0$の周りでテイラー展開したものである。すなわち、

$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$

である。今回は3次の項までを求めればよいので、関数$f(x)$の0次から3次までの微分を求め、それぞれ$x=0$を代入すればよい。

まず、$f(x) = \tan^{-1}x$であるから、

$$f(0) = \tan^{-1}0 = 0$$

次に、$f(x)$の微分を計算する。

$$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$$

したがって、

$$f'(0) = \frac{1}{1+0^2} = 1$$

さらに、$f'(x)$を微分すると、

$$f''(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$$

したがって、

$$f''(0) = -\frac{2(0)}{(1+0^2)^2} = 0$$

さらに、$f''(x)$を微分すると、

$$f'''(x) = -\frac{2(1+x^2)^2 - 2x \cdot 2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4} = -\frac{2(1+x^2) - 8x^2}{(1+x^2)^3} = \frac{6x^2 - 2}{(1+x^2)^3}$$

したがって、

$$f'''(0) = \frac{6(0)^2 - 2}{(1+0^2)^3} = -2$$

これらの結果をマクローリン展開の式に代入すると、

$$f(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-2}{3!}x^3 + \cdots = x - \frac{1}{3}x^3 + \cdots$$

3. 最終的な答え

$x - \frac{1}{3}x^3$