(1) $f(x) = |x(x-2)|$ (2) $f(x) = |x^3|$

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1. 問題の内容

問題は以下の3つに分かれています。

1. 関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判定します。

(1) $f(x) = |x(x-2)|$

(2) $f(x) = |x^3|$

2. 次の関数の $x=1$ における微分係数を定義に従って求めます。

(1) $y = x^2 + x$

(2) $y = \sqrt{x}$

(3) $y = \frac{1}{x}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

3. 問題2で与えられた各関数の導関数を定義に従って求めます。

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2. 解き方の手順

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1. 微分可能性の判定

ある関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能であるためには、以下の極限が存在する必要があります。

$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

この極限が存在するためには、左極限と右極限が一致する必要があります。

(1) $f(x) = |x(x-2)|$ の場合:

$x=0$ における微分可能性を調べるので、$a=0$ です。

$f(0) = |0(0-2)| = 0$

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h(h-2)| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h(h-2)|}{h}$

$h \to 0^+$ のとき、$h(h-2) < 0$ なので、$|h(h-2)| = -h(h-2)$

$\lim_{h \to 0^+} \frac{-h(h-2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} -(h-2) = 2$

$h \to 0^-$ のとき、$h(h-2) > 0$ なので、$|h(h-2)| = h(2-h) = -h(h-2)$

$\lim_{h \to 0^-} \frac{-h(h-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} -(h-2) = 2$

$\lim_{h \to 0^-} \frac{h(h-2)}{h} = \lim_{h \to 0^-} h-2 = -2$

右極限と左極限が一致しないため、$x=0$ で微分可能ではありません。

$\lim_{h \to 0^+} \frac{h(h-2)}{h} = \lim_{h \to 0^+} h-2 = -2$

右極限と左極限が一致しないため、$x=0$ で微分可能ではありません。

(2) $f(x) = |x^3|$ の場合:

$x=0$ における微分可能性を調べるので、$a=0$ です。

$f(0) = |0^3| = 0$

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{|h^3| - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h^3|}{h}$

$h \to 0^+$ のとき、$|h^3| = h^3$

$\lim_{h \to 0^+} \frac{h^3}{h} = \lim_{h \to 0^+} h^2 = 0$

$h \to 0^-$ のとき、$|h^3| = -h^3$

$\lim_{h \to 0^-} \frac{-h^3}{h} = \lim_{h \to 0^-} -h^2 = 0$

右極限と左極限が一致するので、$x=0$ で微分可能です。

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2. 微分係数の計算 (定義に従って)

微分係数は、以下の式で定義されます。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

今回は $a=1$ なので、$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

(1) $y = x^2 + x$

$f(1) = 1^2 + 1 = 2$

$f(1+h) = (1+h)^2 + (1+h) = 1 + 2h + h^2 + 1 + h = h^2 + 3h + 2$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 3h + 2 - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + 3h}{h} = \lim_{h \to 0} h + 3 = 3$

(2) $y = \sqrt{x}$

$f(1) = \sqrt{1} = 1$

$f(1+h) = \sqrt{1+h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{1+h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{1+h} - 1)(\sqrt{1+h} + 1)}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{1+h - 1}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{1+h} + 1)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+h} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2}$

(3) $y = \frac{1}{x}$

$f(1) = \frac{1}{1} = 1$

$f(1+h) = \frac{1}{1+h}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h(1+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{1+h} = -1$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$f(1) = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$

$f(1+h) = \frac{1}{\sqrt{1+h}}$

$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{1+h}} - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1 - \sqrt{1+h}}{\sqrt{1+h}}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - \sqrt{1+h}}{h\sqrt{1+h}} = \lim_{h \to 0} \frac{(1 - \sqrt{1+h})(1 + \sqrt{1+h})}{h\sqrt{1+h}(1 + \sqrt{1+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - (1+h)}{h\sqrt{1+h}(1 + \sqrt{1+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h\sqrt{1+h}(1 + \sqrt{1+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{1+h}(1 + \sqrt{1+h})} = \frac{-1}{\sqrt{1}(1 + \sqrt{1})} = \frac{-1}{1(1+1)} = -\frac{1}{2}$

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3. 導関数の計算 (定義に従って)

導関数は、以下の式で定義されます。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

(1) $y = x^2 + x$

$f(x) = x^2 + x$

$f(x+h) = (x+h)^2 + (x+h) = x^2 + 2xh + h^2 + x + h$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 + x + h - (x^2 + x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2 + h}{h} = \lim_{h \to 0} 2x + h + 1 = 2x + 1$

(2) $y = \sqrt{x}$

$f(x) = \sqrt{x}$

$f(x+h) = \sqrt{x+h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{x+h - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

(3) $y = \frac{1}{x}$

$f(x) = \frac{1}{x}$

$f(x+h) = \frac{1}{x+h}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{hx(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x^2}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$f(x+h) = \frac{1}{\sqrt{x+h}}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{\sqrt{x+h}} - \frac{1}{\sqrt{x}}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{x+h}}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x+h})(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x+h}(\sqrt{x} + \sqrt{x+h})} = \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{x})} = \frac{-1}{x(2\sqrt{x})} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} = -\frac{1}{2x^{3/2}}$

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3. 最終的な答え

1. (1) 微分不可能 (2) 微分可能

2. (1) 3 (2) 1/2 (3) -1 (4) -1/2

3. (1) $2x+1$ (2) $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ (3) $\frac{-1}{x^2}$ (4) $-\frac{1}{2x\sqrt{x}}$