与えられた10個の極限の値を、選択肢の中から選び出す問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の極限の値を、選択肢の中から選び出す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} 3(-2)^n$: $(-2)^n$ は $n$ が偶数の時に正、奇数の時に負となり、絶対値は $\infty$ に発散します。したがって、極限は存在しません。選択肢の⑧。

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x-2}$: 分子を因数分解すると、$\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}$ となります。$x \neq 2$ のとき、$\frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x - 3$。したがって、$\lim_{x \to 2} (x - 3) = 2 - 3 = -1$。選択肢の③。

(3) $\lim_{n \to \infty} (4^n - 3^n)$: $4^n$でくくると、$\lim_{n \to \infty} 4^n(1 - (\frac{3}{4})^n)$ となります。$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^n = 0$ なので、$\lim_{n \to \infty} 4^n(1 - (\frac{3}{4})^n) = \infty$。選択肢の⑦。

(4) $\lim_{x \to 0} \log x$: $x$ が正の方向から $0$ に近づくとき、$\log x$ は $-\infty$ に発散します。しかし、選択肢に $-\infty$ がないため、極限は存在しない、と判断し選択肢⑧を選びます。

(5) $\lim_{x \to 5} (\sqrt{x+4} - \sqrt{x-4})$: $x=5$ を代入すると、$\sqrt{5+4} - \sqrt{5-4} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$。選択肢の⑥。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。$\frac{\sin 2x}{x} = 2 \frac{\sin 2x}{2x}$ なので、$\lim_{x \to 0} 2 \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \times 1 = 2$。選択肢の⑥。

(7) $\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n + 3^n}$: 分母を $4^n$ で割ると、$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n (1 + (\frac{3}{4})^n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{8})^n}{1 + (\frac{3}{4})^n}$ となります。$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{8})^n = 0$ であり、$\lim_{n \to \infty} (1 + (\frac{3}{4})^n) = 1$ なので、$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{8})^n}{1 + (\frac{3}{4})^n} = \frac{0}{1} = 0$。選択肢の④。

(8) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2}$: $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を利用します。$\sum_{k=1}^{n} \frac{2k}{n^2} = \frac{2}{n^2} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{2}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \frac{1}{n}$。したがって、$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$。選択肢の⑤。

(9) $\lim_{n \to \infty} \cos \frac{2n+1}{2}\pi$: $\frac{2n+1}{2}\pi = n\pi + \frac{\pi}{2}$ なので、$\cos (n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$。したがって、$\lim_{n \to \infty} \cos \frac{2n+1}{2}\pi = 0$。選択肢の④。

(10) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{|x-1|}$: $x \to 1^+$ のとき、$|x-1| = x-1$ なので、$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^+} x = 1$。$x \to 1^-$ のとき、$|x-1| = -(x-1)$ なので、$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x(x-1)}{-(x-1)} = \lim_{x \to 1^-} -x = -1$。右側極限と左側極限が一致しないので、極限は存在しません。選択肢の⑧。

3. 最終的な答え

(1) ⑧

(2) ③

(3) ⑦

(4) ⑧

(5) ⑥

(6) ⑥

(7) ④

(8) ⑤

(9) ④

(10) ⑧