与えられた10個の極限の値を計算し、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の極限の値を計算し、選択肢の中から適切なものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} 8(-2)^n$

$n$が偶数の場合、 $(-2)^n$ は正の無限大に発散し、$n$が奇数の場合、負の無限大に発散します。したがって、極限は存在しません。選択肢より、極限は存在しないので、答えは8。

(2) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$

分子を因数分解すると、$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$となるので、

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 3) = 2 - 3 = -1$。選択肢より、答えは3。

(3) $\lim_{n \to \infty} (4^n - 3^n)$

$4^n$でくくると、 $\lim_{n \to \infty} 4^n(1 - (\frac{3}{4})^n)$となります。 $n \to \infty$のとき $(\frac{3}{4})^n \to 0$なので、$4^n(1 - (\frac{3}{4})^n) \to \infty$。選択肢より、答えは7。

(4) $\lim_{x \to 0} \log x$

$x$が0に近づくと、$\log x$は負の無限大に発散します。選択肢より、答えは1。

(5) $\lim_{x \to 5} (\sqrt{x + 4} - \sqrt{x - 4})$

$x$に5を代入すると、$\sqrt{5 + 4} - \sqrt{5 - 4} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$。選択肢より、答えは6。

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x} = 2 \cdot 1 = 2$。選択肢より、答えは6。

(7) $\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n + 3^n}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n + 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n(1 + (\frac{3}{4})^n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{1}{2})^n}{4^n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{8})^n = 0$。選択肢より、答えは4。

(8) $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{2k}{n^2}$

$\sum_{k=1}^n \frac{2k}{n^2} = \frac{2}{n^2}\sum_{k=1}^n k = \frac{2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{n^2} = \frac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \frac{1}{n}$

$\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n}) = 1$。選択肢より、答えは5。

(9) $\lim_{n \to \infty} \cos(\frac{2n + 1}{2} \pi)$

$\frac{2n + 1}{2} \pi = (n + \frac{1}{2})\pi = n\pi + \frac{\pi}{2}$なので、

$\lim_{n \to \infty} \cos(n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$。選択肢より、答えは4。

(10) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{|x - 1|}$

$x \to 1^+$のとき、 $x > 1$より $|x - 1| = x - 1$。

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 - x}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} x = 1$。

$x \to 1^-$のとき、$x < 1$より$|x - 1| = -(x - 1)$。

$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 - x}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{x(x - 1)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -x = -1$。

右極限と左極限が異なるので、極限は存在しません。選択肢より、答えは8。

3. 最終的な答え

1: 8

2: 3

3: 7

4: 1

5: 6

6: 6

7: 4

8: 5

9: 4

10: 8