与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{0}^{1} 2xe^{x} dx$ (2) $\int_{1}^{2} (3x-2)e^{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{0}^{1} 2xe^{x} dx$

(2) $\int_{1}^{2} (3x-2)e^{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} 2xe^{x} dx$ の計算

部分積分を用います。$u = 2x$ と $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2dx$ および $v = e^x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int 2xe^x dx = 2xe^x - \int 2e^x dx = 2xe^x - 2e^x + C$

したがって、

$\int_{0}^{1} 2xe^{x} dx = [2xe^x - 2e^x]_{0}^{1} = (2(1)e^1 - 2e^1) - (2(0)e^0 - 2e^0) = (2e - 2e) - (0 - 2) = 0 - (-2) = 2$

(2) $\int_{1}^{2} (3x-2)e^{x} dx$ の計算

部分積分を用います。$u = 3x-2$ と $dv = e^x dx$ とすると、$du = 3dx$ および $v = e^x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int (3x-2)e^x dx = (3x-2)e^x - \int 3e^x dx = (3x-2)e^x - 3e^x + C = (3x-5)e^x + C$

したがって、

$\int_{1}^{2} (3x-2)e^{x} dx = [(3x-5)e^x]_{1}^{2} = (3(2)-5)e^2 - (3(1)-5)e^1 = (6-5)e^2 - (3-5)e = e^2 - (-2e) = e^2 + 2e = e(e+2)$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{1} 2xe^{x} dx = 2$

(2) $\int_{1}^{2} (3x-2)e^{x} dx = e(e+2)$