与えられた関数を微分します。問題は全部で6つあります。 (1) $y = (\arctan x)^3$ (2) $y = \arcsin(3-x^2)$ (3) $y = (\arcsin \sqrt{x})^2$ (4) $y = \arcsin(\tan x)$ (5) $y = \arctan(\frac{1-x}{1+x})$ (6) $y = \arctan(x^3 + 1)$

はい、承知いたしました。それでは、問題7の関数をそれぞれ微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分します。問題は全部で6つあります。

(1) $y = (\arctan x)^3$

(2) $y = \arcsin(3-x^2)$

(3) $y = (\arcsin \sqrt{x})^2$

(4) $y = \arcsin(\tan x)$

(5) $y = \arctan(\frac{1-x}{1+x})$

(6) $y = \arctan(x^3 + 1)$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算します。

合成関数の微分（チェーンルール）を頻繁に使用します。

(1) $y = (\arctan x)^3$ の微分

$y' = 3(\arctan x)^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{3(\arctan x)^2}{1+x^2}$

(2) $y = \arcsin(3-x^2)$ の微分

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(3-x^2)^2}} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{\sqrt{1-(3-x^2)^2}} = \frac{-2x}{\sqrt{1-(9-6x^2+x^4)}} = \frac{-2x}{\sqrt{-8+6x^2-x^4}}$

(3) $y = (\arcsin \sqrt{x})^2$ の微分

$y' = 2(\arcsin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2(\arcsin \sqrt{x}) \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}$

(4) $y = \arcsin(\tan x)$ の微分

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-(\tan x)^2}} \cdot \sec^2 x = \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan^2 x}}$

ここで、三角関数の恒等式から、$1+\tan^2 x = \sec^2 x$であるため、$1 - \tan^2 x = 2 - \sec^2 x$であり、

$y' = \frac{\sec^2 x}{\sqrt{2-\sec^2 x}}$

(5) $y = \arctan(\frac{1-x}{1+x})$ の微分

$y' = \frac{1}{1+(\frac{1-x}{1+x})^2} \cdot \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}} \cdot \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{(1+x)^2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} \cdot \frac{-2}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-2}{1+2x+x^2+1-2x+x^2} = \frac{-2}{2+2x^2} = \frac{-1}{1+x^2}$

(6) $y = \arctan(x^3 + 1)$ の微分

$y' = \frac{1}{1+(x^3+1)^2} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{1+(x^3+1)^2} = \frac{3x^2}{1+x^6+2x^3+1} = \frac{3x^2}{x^6+2x^3+2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{3(\arctan x)^2}{1+x^2}$

(2) $y' = \frac{-2x}{\sqrt{-8+6x^2-x^4}}$

(3) $y' = \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}$

(4) $y' = \frac{\sec^2 x}{\sqrt{1-\tan^2 x}}=\frac{\sec^2 x}{\sqrt{2-\sec^2 x}}$

(5) $y' = \frac{-1}{1+x^2}$

(6) $y' = \frac{3x^2}{x^6+2x^3+2}$