次の広義積分が収束するかどうかを判定条件を使って調べる問題です（値を求める必要はありません）。 (1) $\int_0^1 |\sin \frac{1}{x}| dx$ (2) $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$ (3) $\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ また、ベータ関数$B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$に対し、$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$を示す問題があります。

1. 問題の内容

次の広義積分が収束するかどうかを判定条件を使って調べる問題です（値を求める必要はありません）。

(1) $\int_0^1 |\sin \frac{1}{x}| dx$

(2) $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$

(3) $\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$

また、ベータ関数$B(p, q) = \int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$に対し、$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$を示す問題があります。

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 |\sin \frac{1}{x}| dx$

$t = 1/x$と変数変換すると$dx = -\frac{1}{t^2} dt$となり、積分範囲は$\infty$から1になります。

$\int_0^1 |\sin \frac{1}{x}| dx = \int_{\infty}^1 |\sin t|(-\frac{1}{t^2})dt = \int_1^{\infty} \frac{|\sin t|}{t^2} dt$

$\int_1^{\infty} \frac{|\sin t|}{t^2} dt \leq \int_1^{\infty} \frac{1}{t^2} dt$

$\int_1^{\infty} \frac{1}{t^2} dt = [-1/t]_1^{\infty} = 1$

したがって、$\int_0^1 |\sin \frac{1}{x}| dx$ は収束します。

(2) $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$

$x \to 0$で$\sin x \sim x$なので、$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx \sim \int_0^{\pi/2} \frac{1}{x} dx$

$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{x} dx = [\log x]_0^{\pi/2} = \log(\pi/2) - \lim_{x \to 0} \log x = \infty$

したがって、$\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$ は発散します。

(3) $\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$

$x \to \infty$で$\sqrt{x^3+1} \sim \sqrt{x^3} = x^{3/2}$なので、$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}} \sim \frac{1}{x^{3/2}}$

$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^{3/2}} dx = [-2x^{-1/2}]_1^{\infty} = -2 \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} + 2 = 2$

$x \to 0$で$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}$は1に収束し、積分可能。

したがって、$\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は収束します。

(4) ベータ関数$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$について

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}-1}(1-x)^{\frac{1}{2}-1} dx = \int_0^1 x^{-\frac{1}{2}}(1-x)^{-\frac{1}{2}} dx = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} dx$

$x = \sin^2 \theta$ と変数変換すると、$dx = 2 \sin \theta \cos \theta d\theta$

積分範囲は0から$\pi/2$に変わり、

$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \theta (1-\sin^2 \theta)}} 2 \sin \theta \cos \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} d\theta = \int_0^{\pi/2} 2 d\theta = 2[\theta]_0^{\pi/2} = 2 (\frac{\pi}{2} - 0) = \pi$

よって、$B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$

3. 最終的な答え

(1) $\int_0^1 |\sin \frac{1}{x}| dx$ は収束する。

(2) $\int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx$ は発散する。

(3) $\int_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x^3+1}} dx$ は収束する。

(4) $B(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \pi$