重積分 $\iint_D \frac{dxdy}{(1+x)(1+xy^2)}$ を、領域 $D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 1\}$ で求めよ。

1. 問題の内容

重積分 $\iint_D \frac{dxdy}{(1+x)(1+xy^2)}$ を、領域 $D = \{(x, y) | 1 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 1\}$ で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y$ について積分し、次に $x$ について積分します。

積分範囲は、$1 \leq x \leq 3$、$0 \leq y \leq 1$ です。

$\iint_D \frac{dxdy}{(1+x)(1+xy^2)} = \int_1^3 \int_0^1 \frac{1}{(1+x)(1+xy^2)} dy dx$

まず、$y$ について積分します。

$\int_0^1 \frac{1}{1+xy^2} dy = \frac{1}{\sqrt{x}} \arctan(\sqrt{x} y) \Big|_0^1 = \frac{1}{\sqrt{x}} \arctan(\sqrt{x})$

したがって、

$\int_1^3 \frac{1}{1+x} \left( \int_0^1 \frac{1}{1+xy^2} dy \right) dx = \int_1^3 \frac{\arctan(\sqrt{x})}{\sqrt{x}(1+x)} dx$

ここで、$u = \sqrt{x}$ と置換すると、$x = u^2$、$dx = 2u du$。積分範囲は、$1 \leq u \leq \sqrt{3}$ になります。

$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{\arctan(u)}{u(1+u^2)} 2u du = 2 \int_1^{\sqrt{3}} \frac{\arctan(u)}{1+u^2} du$

$t = \arctan(u)$ と置換すると、$dt = \frac{1}{1+u^2} du$。積分範囲は、$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ から $\arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ になります。

$2 \int_{\pi/4}^{\pi/3} t dt = 2 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \left[ t^2 \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \left( \frac{\pi}{3} \right)^2 - \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 = \frac{\pi^2}{9} - \frac{\pi^2}{16} = \frac{16\pi^2 - 9\pi^2}{144} = \frac{7\pi^2}{144}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi^2}{144}$