問題は、与えられた関数で表される平面上の連続曲線の長さを、指定された変数の範囲で求めるものです。具体的には、以下の7つの曲線について、それぞれの曲線の長さを計算します。 (1) $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (区間 $0 \le x \le 2$) (2) $x = \cos^3\theta$, $y = \sin^3\theta$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$) (3) $x = \theta - \sin\theta$, $y = 1 - \cos\theta$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$) (4) $y = x^2$ (区間 $0 \le x \le 1$) (5) $y = \log x$ (区間 $\frac{1}{2} \le x \le 2$) (6) $r = e^{2\theta}$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$) (7) $r = \theta$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$)

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数で表される平面上の連続曲線の長さを、指定された変数の範囲で求めるものです。具体的には、以下の7つの曲線について、それぞれの曲線の長さを計算します。

(1) $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ (区間 $0 \le x \le 2$)

(2) $x = \cos^3\theta$, $y = \sin^3\theta$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$)

(3) $x = \theta - \sin\theta$, $y = 1 - \cos\theta$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$)

(4) $y = x^2$ (区間 $0 \le x \le 1$)

(5) $y = \log x$ (区間 $\frac{1}{2} \le x \le 2$)

(6) $r = e^{2\theta}$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$)

(7) $r = \theta$ (区間 $0 \le \theta \le 2\pi$)

2. 解き方の手順

曲線の長さを求める一般的な公式は次の通りです。

* 直交座標の場合： $L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} \, dx$

* 媒介変数表示の場合： $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} \, dt$

* 極座標の場合： $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} \, d\theta$

各曲線について、適切な公式を選び、積分を計算することで曲線の長さを求めます。以下に各問題に対するアプローチを示します。

(1) $y = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ の場合

$y' = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.

$L = \int_0^2 \sqrt{1 + (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2} dx = \int_0^2 \sqrt{1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}} dx = \int_0^2 \sqrt{\frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4}} dx = \int_0^2 \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = [\frac{e^x - e^{-x}}{2}]_0^2 = \frac{e^2 - e^{-2}}{2} = \sinh 2$

(2) $x = \cos^3\theta$, $y = \sin^3\theta$ の場合

$\frac{dx}{d\theta} = -3\cos^2\theta \sin\theta$, $\frac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta \cos\theta$.

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-3\cos^2\theta \sin\theta)^2 + (3\sin^2\theta \cos\theta)^2} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{9\cos^4\theta \sin^2\theta + 9\sin^4\theta \cos^2\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} 3|\cos\theta \sin\theta| \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{3}{2}|\sin 2\theta| d\theta = 4 \int_0^{\pi/2} \frac{3}{2}\sin 2\theta d\theta = 6[-\frac{\cos 2\theta}{2}]_0^{\pi/2} = 6[-\frac{-1}{2} - (-\frac{1}{2})] = 6$

(3) $x = \theta - \sin\theta$, $y = 1 - \cos\theta$ の場合

$\frac{dx}{d\theta} = 1 - \cos\theta$, $\frac{dy}{d\theta} = \sin\theta$.

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(1 - \cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{2 - 2\cos\theta} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{4\sin^2(\frac{\theta}{2})} d\theta = \int_0^{2\pi} 2|\sin(\frac{\theta}{2})| d\theta = 2\int_0^{2\pi} \sin(\frac{\theta}{2}) d\theta = 2[-2\cos(\frac{\theta}{2})]_0^{2\pi} = 2[-2(-1) - (-2(1))] = 8$

(4) $y = x^2$ の場合

$y' = 2x$.

$L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx$. この積分は初等関数で表すことが難しいので、教科書を参照するか、数値積分を用いる必要があります。この積分結果は約1.4789になります。

(5) $y = \log x$ の場合

$y' = \frac{1}{x}$.

$L = \int_{1/2}^2 \sqrt{1 + (\frac{1}{x})^2} dx = \int_{1/2}^2 \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} dx = \int_{1/2}^2 \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} dx$. この積分も初等関数で表すことが難しいので、教科書を参照するか、数値積分を用いる必要があります。

(6) $r = e^{2\theta}$ の場合

$\frac{dr}{d\theta} = 2e^{2\theta}$.

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(e^{2\theta})^2 + (2e^{2\theta})^2} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{e^{4\theta} + 4e^{4\theta}} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{5e^{4\theta}} d\theta = \sqrt{5} \int_0^{2\pi} e^{2\theta} d\theta = \sqrt{5}[\frac{1}{2}e^{2\theta}]_0^{2\pi} = \frac{\sqrt{5}}{2}(e^{4\pi} - 1)$

(7) $r = \theta$ の場合

$\frac{dr}{d\theta} = 1$.

$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\theta^2 + 1^2} d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{\theta^2 + 1} d\theta$. この積分は初等関数で表すことが難しいので、教科書を参照するか、数値積分を用いる必要があります。

3. 最終的な答え

(1) $\sinh 2 = \frac{e^2 - e^{-2}}{2}$

(2) $6$

(3) $8$

(4) $\int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} dx \approx 1.4789$

(5) $\int_{1/2}^2 \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} dx$

(6) $\frac{\sqrt{5}}{2}(e^{4\pi} - 1)$

(7) $\int_0^{2\pi} \sqrt{\theta^2 + 1} d\theta$