与えられた関数 $y = \ln{\sqrt{1+x}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \ln{\sqrt{1+x}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \ln{\sqrt{1+x}}$ を整理します。平方根は $1/2$ 乗で表せるので、

$y = \ln{(1+x)^{1/2}}$

となります。対数の性質 $\ln{a^b} = b\ln{a}$ を用いると、

$y = \frac{1}{2}\ln{(1+x)}$

となります。

次に、この関数を微分します。$\ln{(1+x)}$ の微分は $\frac{1}{1+x}$ です。したがって、$y$ の導関数 $y'$ は、

$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+x}$

$y' = \frac{1}{2(1+x)}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{2(1+x)}$