関数 $y = \sqrt{1+x}$ の導関数 $y'$ を求めよ。そして、与えられた $y'$ が正しいか判断せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1+x}$ の導関数 $y'$ を求めよ。そして、与えられた $y'$ が正しいか判断せよ。

2. 解き方の手順

$y = \sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ と書き換えます。

合成関数の微分法を用いて、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1+x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{d}{dx}(1+x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$

したがって、$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ となります。

3. 最終的な答え

導関数は、$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$ です。与えられた$y'$ は正しいです。

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1+x}}$