与えられた問題は、極限を求める問題が2問と、関数を微分する問題が10問です。ここでは極限を求める2問を解きます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} \quad (b \neq 0)$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限を求める問題が2問と、関数を微分する問題が10問です。ここでは極限を求める2問を解きます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} \quad (b \neq 0)$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx}$

$\frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin bx} \cdot \frac{ax}{bx} = \frac{\sin ax}{ax} \cdot \frac{bx}{\sin bx} \cdot \frac{a}{b}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin bx}{bx} = 1$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{bx}{\sin bx} \cdot \frac{a}{b} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x}$

$\frac{\sin x^2}{x} = \frac{\sin x^2}{x^2} \cdot x$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} = 1$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} x = 1 \cdot 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x} = 0$