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問題2として、以下の4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1} \frac{x}{3}$ (2) $y = \tan^{-1} \frac{x}{2}$ (3) $y = \sin^{-1} \frac{x-1}{\sqrt{3}}$ (4) $y = \tan^{-1} \frac{x+1}{\sqrt{2}}$

解析学微分逆三角関数合成関数の微分
2025/7/22

1. 問題の内容

問題2として、以下の4つの関数を微分する問題です。
(1) y=sin⁡−1x3y = \sin^{-1} \frac{x}{3}
(2) y=tan⁡−1x2y = \tan^{-1} \frac{x}{2}
(3) y=sin⁡−1x−13y = \sin^{-1} \frac{x-1}{\sqrt{3}}
(4) y=tan⁡−1x+12y = \tan^{-1} \frac{x+1}{\sqrt{2}}

2. 解き方の手順

(1) y=sin⁡−1x3y = \sin^{-1} \frac{x}{3}
sin⁡−1x\sin^{-1} x の微分は 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} なので、合成関数の微分公式を用いる。
dydx=11−(x3)2⋅13=11−x29⋅13=19−x29⋅13=39−x2⋅13=19−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{3})^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{9}}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{\frac{9-x^2}{9}}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{\sqrt{9-x^2}} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}
(2) y=tan⁡−1x2y = \tan^{-1} \frac{x}{2}
tan⁡−1x\tan^{-1} x の微分は 11+x2\frac{1}{1+x^2} なので、合成関数の微分公式を用いる。
dydx=11+(x2)2⋅12=11+x24⋅12=14+x24⋅12=44+x2⋅12=24+x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{x}{2})^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{1+\frac{x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{\frac{4+x^2}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{4+x^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4+x^2}
(3) y=sin⁡−1x−13y = \sin^{-1} \frac{x-1}{\sqrt{3}}
sin⁡−1x\sin^{-1} x の微分は 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} なので、合成関数の微分公式を用いる。
dydx=11−(x−13)2⋅13=11−(x−1)23⋅13=13−(x2−2x+1)3⋅13=12+2x−x23⋅13=32+2x−x2⋅13=12+2x−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x-1}{\sqrt{3}})^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{(x-1)^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{3-(x^2-2x+1)}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2+2x-x^2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2+2x-x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2+2x-x^2}}
(4) y=tan⁡−1x+12y = \tan^{-1} \frac{x+1}{\sqrt{2}}
tan⁡−1x\tan^{-1} x の微分は 11+x2\frac{1}{1+x^2} なので、合成関数の微分公式を用いる。
dydx=11+(x+12)2⋅12=11+(x+1)22⋅12=12+x2+2x+12⋅12=23+2x+x2⋅12=23+2x+x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{x+1}{\sqrt{2}})^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{1+\frac{(x+1)^2}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\frac{2+x^2+2x+1}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{3+2x+x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3+2x+x^2}

3. 最終的な答え

(1) dydx=19−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}
(2) dydx=24+x2\frac{dy}{dx} = \frac{2}{4+x^2}
(3) dydx=12+2x−x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{2+2x-x^2}}
(4) dydx=23+2x+x2\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{2}}{3+2x+x^2}

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