$0 \le x \le 1$ で定義された関数 $f(x) = |2x-1|$ について、次の問いに答える。 (1) $y = f(f(x))$ のグラフを描く。 (2) $f(f(f(x))) = x$ となる $x$ の個数を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 1$ で定義された関数 $f(x) = |2x-1|$ について、次の問いに答える。

(1) $y = f(f(x))$ のグラフを描く。

(2) $f(f(f(x))) = x$ となる $x$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = f(f(x))$ のグラフを描く。

まず、$f(x) = |2x-1|$ のグラフを描く。$0 \le x \le 1$ の範囲で、$f(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ で $0$ になり、$x = 0$ で $1$、$x = 1$ で $1$ となる。

次に、$f(f(x))$ を計算する。

$0 \le x \le 1$ なので、$0 \le f(x) \le 1$ となる。

$f(f(x)) = |2f(x) - 1|$ である。

$f(x) = |2x-1|$ なので、$f(f(x)) = |2|2x-1| - 1|$ である。

$f(f(x)) = |4x-2 - 1| = |4x-3|$ ($1/2 \le x \le 1$の場合)

$f(f(x)) = |4x-1|$ ($0 \le x \le 1/2$の場合)

場合分けをする。

i) $0 \le x \le \frac{1}{4}$ のとき、$f(f(x)) = 1-4x$

ii) $\frac{1}{4} \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$f(f(x)) = 4x-1$

iii) $\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{4}$ のとき、$f(f(x)) = 3-4x$

iv) $\frac{3}{4} \le x \le 1$ のとき、$f(f(x)) = 4x-3$

したがって、$y = f(f(x))$ のグラフは、

$(0,1), (1/4, 0), (1/2, 1), (3/4, 0), (1,1)$を通る折れ線となる。

(2) $f(f(f(x))) = x$ となる $x$ の個数を求める。

これは、$y = f(f(x))$ のグラフと $y = x$ のグラフの交点の個数を求める問題ではない。

$f(f(f(x))) = x$ を解く。

$f(x) = |2x-1|$

$f(f(x)) = |2|2x-1|-1|$

$f(f(f(x))) = |2|2|2x-1|-1|-1|$

$|2|2|2x-1|-1|-1| = x$

$0 \le x \le 1$ で定義されているので、$0 \le x \le 1$ の範囲で考える。

$y = f(f(x))$ のグラフと $y = x$ のグラフの交点の個数を考える。

$1 - 4x = x$ より $x = 1/5$

$4x - 1 = x$ より $x = 1/3$

$3 - 4x = x$ より $x = 3/5$

$4x - 3 = x$ より $x = 1$

よって、$f(f(x)) = x$ の解は $x = 1/5, 1/3, 3/5, 1$ の4つである。

$f(f(f(x))) = x$ を満たす解は8つ。

3. 最終的な答え

(1) $y = f(f(x))$ のグラフは上記参照。

(2) $f(f(f(x))) = x$ となる $x$ の個数は8個。