与えられた6つの極限値を求める問題です。具体的には、以下の極限を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{2}}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{3x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\tan 3x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2}$

1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を求める問題です。具体的には、以下の極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{2}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{3x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\tan 3x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\sin 2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2x}{3x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{2}{3}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2}{3} = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{2}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{x}{\sin \frac{x}{2}} = \frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2$

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot 2 = 1 \cdot 2 = 2$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}$

$\frac{\sin 3x}{\sin 2x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{3x}{2x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{3}{2}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{3}{2} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{3x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ を利用します。

$\frac{\tan 4x}{3x} = \frac{\tan 4x}{4x} \cdot \frac{4x}{3x} = \frac{\tan 4x}{4x} \cdot \frac{4}{3}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 4x}{4x} \cdot \frac{4}{3} = 1 \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\tan 3x}$

$\frac{\tan 2x}{\tan 3x} = \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2x}{3x} = \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2}{3}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{\tan 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\tan 3x} \cdot \frac{2}{3} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2}$

$\frac{\sin^2 3x}{x^2} = \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\sin 3x}{x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^2 \cdot 9$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^2 \cdot 9 = 1^2 \cdot 9 = 9$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) 2

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $\frac{4}{3}$

(5) $\frac{2}{3}$

(6) 9